z[λ]=x[λ]+iy[λ](λ=1,…,n)に対して
∂/∂z[λ]=(1/2)(∂/∂x[λ]-i∂/∂y[λ])
∂/∂z~[λ]=(1/2)(∂/∂x[λ]+i∂/∂y[λ])
dz[λ]=dx[λ]+idy[λ]
dz~[λ]=dx[λ]+idy[λ]
と定義する
df=d'f+d''fである
ただし
d'f=Σ(∂f/∂z[λ])dz[λ]
d''f=Σ(∂f/∂z~[λ])dz~[λ]
連続関数fの正則性は以下の式で表される
d''f=0
領域U⊂C^nで定義された複素微分形式は
dz[1],…,dz[n]
dz~[1],…,dz~[n]
を使って表される
以下の形の微分形式を、(p,q)次の微分形式、または単に(p,q)形式という
ω=Σf_[a_1,…,a_p,b_1,…,b_q] dz[a_1]∧…∧dz[a_p]∧dz~[b_1]∧･･･∧dz~[b_q]
ωが(p,q)形式の場合
dωは以下の(p+1,q)形式と(p,q+1)形式の和で書ける
dω=d'ω+d''ω
d'd'=0 d''d''=0 d'd''+d''d'=0 である
d''ω=0 となるとき ωはd''-閉であるといい
ω=d''θと表せるときは ωはd''-完全であるという
★ドルボー(Dolbeault)の補題
ωが半径rの多重円盤(D_r)^n上の(p,q)形式で、d''-閉、かつ、q>=ならば
rより小さい半径r'の多重円盤(D_r')^n上で、d''-完全である
Xをｎ次元複素多様体とするとき
ドルボーの補題の補題により、以下の層の系列は完全である
0→Ω~pー(i)→A~(p,0)ー(d'')→Ａ~(p､1)ー(d'')→…ー(d'')→A~(p,n)→0
Ω~p 正則ｐ次微分形式の芽の層
A~(p,q) (p,q)次微分形式の芽の層
上記はΩ_pの細層による分解であることから、以下の定理が成り立つ
★ドルボー(Dolbeault)の定理
H~q(X,Ω~p)≣Ker(ｄ’’:Γ(X,A~(p,q))→Γ(X,A~(p,q+1)))｜d''(Γ(X,A~(p,q-1)))
付記
ドルボーの補題は、実微分形式に関し
「閉形式は局所的に完全形式である」
とするポアンカレの補題の複素版である
そしてドルボーの定理は、同じく実微分形式に関し
0→Rー(i)→A~0ー(d)→Ａ~1ー(d)→…ー(d)→A~n→0
(R 実数の定数層
A~p p次微分形式の芽の層)
が層の完全系列で、Rの細層による分解であることから証明される
ド・ラムの定理の複素版である
☆ド・ラム(de Rham)の定理
H~q(X,R)≣Ker(ｄ:Γ(X,A~p)→Γ(X,A~(p+1)))｜d(Γ(X,A~(p-1)))
Eを複素多様体X上の複素ベクトル束とする
Eの接続とは、アーベル層としての準同型写像
D:A~0(E)→A~1(E)
で、以下のライプニッツの公式を満たすものである
D(fξ)=df・ξ+fDξ f∈A~0 ξ=A~0(E)
A~0（E)はEに値をとるp次微分形式の芽の層
接続Dは写像
D:A~p(E)→A~(p+1)(E)
に拡張できる
D(φξ)=dφ・ξ+((-1)^p)φDξ φ∈A~p ξ=A~0(E)
D^2(fξ)=D(df・ξ+fDξ)=d^2 f・ξ-df∧Dξ+df∧Dξ+f・D^2ξ=f・D^2ξ
となり、A~0（E)からA^2（E)へのA~0加群の層としての準同型写像となる
R=D^2 とおき、RをDの曲率と呼ぶ
Eを複素多様体X上の複素ベクトル束とする
hが以下の性質をもつとき、E上に定義された
エルミート(Hermite)構造であるという
各点x∈Xで、hはファイバー束E_xにエルミート内積h_xを与える
a)h_x(ξ,η)はξに関して線型
b)h_x(η,ξ)はh_x(ξ,η)~
c)ξ≠0ならば、h_x(ξ,ξ)>0
d)ξとηがC~∞ならば、h(ξ,η)もC~∞
Eの接続Dが以下の条件を満たすとき、h-接続、もしくは、hを保つ、という
d(h(ξ,η))=h(Dξ,η)+h(ξ,Dη) ξ,η∈A~0(E)
定理
正則ベクトル束Eのエルミート構造hに対して
hを保つD=D'+d''の形の接続が一つ、ただ一つ存在する
（D'は、D=D'+D''と分解したときのA~(1,0)に対応する成分）
上記の接続を(E,h)の標準接続とよぶ
>>8
接続って一体何を一般化したものなの？
曲面の場合とかだとどうなんの？ エルミート正則ベクトル束（E,h)に対して(det E,det h)を考える
det Eの接続形式ω_det(E)は、ω_det(E)=tr(ω_E)となる
またエルミー正則ベクトル束の接続形式は以下で与えられる
ω~i_j＝ΣΓ~i_j[a]dz[a] 但しΓ~i_j[a]h~ik(∂h~jk/∂z[a])
したがって(det E,det h)の接続形式は
Σω~i_i＝ΣΓ_a dz[a] (Γ_a＝Γ~i_i[a])
となるがこのときΓ_aは計算可能である
hを行列Hで表した場合
Γ_a＝(det H)^(-1)∂(det H)/∂z[a]＝∂log(det H)/∂z[a]
よって接続形式は以下のようになる
Σω~i_i＝d’log(det H)
さらに曲率R_det(E)＝tr(R_E)は以下の式で与えられる
tr(R_E)＝d''d'log(det H)
>>11
接続形式とは何？
この説明では、det EとEについてのみ考えるから定義はしないということ？ > hを行列Hで表した場合
> Γ_a＝(det H)^(-1)∂(det H)/∂z[a]＝∂log(det H)/∂z[a]
これは基底に依存しないの？
>>13
Xの各点で、その近傍Uで枠の場e_1,…,e_rをとる
Dを任意の接続とすれば、De_jは
Eに値をとるU上の1次微分形式として
以下のように書ける
De_j=Σ(i) ω~i_je_i
この1次微分形式のつくるr×r行列ω=(ω~i_j)を
枠e_1,…,e_rに関するDの接続形式とよぶ >>14
正則局所枠e_1,…,e_rが以下の条件を満たすとき
点x∈Xで適合しているという
1)h_jk(x)=δ_jk
2)Γ~i_ja(x)=∂h_ji/∂z[a](x)=0
与えられた点x∈Xに対し、その点で適合した正則局所枠が必ず存在する 複素多様体Xのエルミート計量を
Xのリーマン計量gで以下の性質を満たすもの
として定義する
g(ξ,η)=g(Jξ,Jη) JはXの概複素構造
エルミート計量の与えられた複素多様体を
エルミート多様体という
Φ(ξ,η)=g(ξ,Jη)
と書く、この2次微分形式をエルミート多様体(X,g)の
基本2次微分形式という
Xをn次元複素多様体
gをエルミート計量
Φをその基本2次微分形式とする
以下の2条件は同値である
1)標準接続のねじれ率が0である
2)dΦ=0である
上記の条件を満たすエルミート計量gをケーラー計量といい
（X,g)をケーラー多様体という
Φをケーラー微分形式とも呼ぶ
>>16
Xを複素多様体、Eをその上の複素ベクトル束でファイバーの次元をr
その射影をπ、x∈XにおけるファイバーをE_x＝π^(-1)(x)と書く
PをGL(r,C)を構造群とするEに同伴する主ファイバー束とし
その射影もπと書く
定義により、ｕ∈P_x＝π^(-1)(x)は同型写像u:C^r→E_xである
したがってu∈P_xはC^rの自然な基のuによる像として得られる
E_xの枠（順序のついた基）である ケーラー多様体の例
１．リーマン面
Xをリーマン面、すなわち１次元複素多様体とし
gを任意のエルミート計量とする
Xの実次元は2であるから、基本2次微分形式は必然的に閉じている
したがってgはケーラー計量である
>>21
ケーラー多様体の例
２．複素トーラス
z[1],…,z[n]をC^nの座標系とするとき、
自然なケーラー計量とその基本2次微分形式Φは以下の通りである
ds^2=Σdz[j]dz~[j] Φ=(i/2)Σdz[j]∧dz~[j]
e[1]=∂/∂z[1],…,e[n]=∂/∂z[n]
で与えられる正規直交枠をとれば、
接続形式ωは恒等的に０で、曲率形式Rも０になる >>22
ケーラー多様体の例
３．複素射影空間
P^n（C）をｎ次元射影空間とする
(ζ[0],…,ζ[n])をその斉次座標系とする
<ζ,ζ~>=Σζ[j]ζ~[j]
とおくと
ds^2=2Σ(∂^2log<ζ,ζ~>/∂ζ[j]∂ζ~[k])dζ[j]dζ~[k]
Φ=id'd''log<ζ,ζ~>
はそれぞれ複素射影空間のケーラー計量とその基本2次微分形式である
この計量をP^n(C）のフビニ・ストゥディ形式と呼ぶ >>23
ケーラー多様体の例
４．代数多様体
ケーラー多様体Mの複素部分多様体Xに
Mのケーラー計量ds^2を制限すれば
ケーラー計量になる
（基本2次微分形式についても同様）
複素射影空間の閉複素部分多様体は
コンパクトなケーラー多様体の重要な例である >>24
ケーラー多様体の例
５．複素双曲型空間
B_n={z∈C^n||z|^2<1}を考える
以下の計量はB_nのケーラー計量である
ds^2=2Σg_jkdz[j]dz~[k]
g_jk=∂^2/∂z[j]∂z~[k](1/log(1-|z|^2)^(n+1) Hodge理論の応用というか良さを教えてくれ……
ベクトル束とかエルミート計量のあたりでお腹いっぱいなんだ
Hodge理論より
射影代数多様体の奇数次ベッチ数が偶数であることがわかる
このことから
ホップ多様体の非代数性が直ちに従う
線形代数からやり直した
以前よりもメトリクスとかに抵抗は無くなった
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